Курсовая работа по информатике "Исследование возможностей библиотеки пакетов системы Maxima для решения специальных математических задач". Курсовая работа по информатике "Исследование возможностей библиотеки пакетов системы Maxima для решения специальных

Система компьютерной математики Maxima -- настоящий ветеран среди программ этого класса. Она старше многих своих известных коммерческих собратьев по крайней мере на два десятка лет. Первоначально носившая имя Macsyma, она была создана в конце 1960-х годов в знаменитом Массачусетском технологическом институте и почти 20 лет (с 1982 по 2001) поддерживалась Биллом Шелтером (William Schelter), благодаря которому и приобрела свои замечательные качества и известность в научном мире. Подробности по истории системы, инсталляционный модуль (размером всего в 10 MB), документацию, исходный код и другую сопутствующую информацию можно найти на Web-узле пакета . Текущая версия (5.9.0) работает под управлением Windows и Linux.

Несмотря на скромные размеры, Maxima -- высокоинтеллектуальный продукт, способный решать сложные аналитические задачи. Как и большинство систем компьютерной математики, она является командным интерпретатором, взаимодействующим с пользователем по принципу "вопрос -- ответ". Поэтому рабочая область системы представляет собой последовательность ячеек ввода/вывода (рис. 1), маркированных меткой (С -- для ввода пользователя, D -- для результата) и номером. Такой способ обозначения обеспечивает удобный механизм ссылок, позволяющий для обращения к одному из предыдущих результатов ввести только имя нужной ячейки.

Численные операции

Рис. 1

С какими бы выражениями ни работала Maxima, она всегда стремится к представлению результатов в точной аналитической форме. Это в полной мере относится и к численным расчетам. Например, если ввести в командной строке выражение 1/2+1/3 , то результатом будет 5/6 . Для того чтобы получить значение в виде числа с плавающей точкой, необходимо указать это явно. Простейший способ состоит в задании специального дескриптора numer через запятую после введенного выражения.

Для расчетов с высокой точностью Maxima поддерживает специальные операторы, позволяющие вычислить любое значение с произвольной разрядной сеткой (в пределах, естественно, аппаратных возможностей). Это относится и к целым числам: их величина в системе программно не ограничена. К тому же Maxima имеет очень приличную скорость работы с арифметикой высокой точности, что дает возможность проводить вычисления с целыми числами в десятки и сотни тысяч разрядов с производительностью на уровне лучших коммерческих систем.

Отметим, что Maxima взвешенно подходит к регистру вводимых выражений. Если их вид близок к имени встроенной функции, программа использует эту функцию. Согласно данному правилу Sin , sin и SIN обозначают одно и то же. Вместе с тем пользовательские переменные и функции чувствительны к регистру -- X и x могут обозначать разные объекты.

Система также поддерживает комплексную арифметику и ряд известных математических констант.

Аналитические операции

Способность к сложным аналитическим операциям и преобразованиям, безусловно, стала главной чертой продукта, обеспечившей успех Maxima в среде специалистов. Сюда входят стандартные операции анализа (дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов), представление выражений в развернутой форме, разложение функций в ряды, упрощения, преобразования, подстановки и т. п. Причем данная функциональность достаточно гибка для проведения серьезных научных исследований. Так, можно находить частные и обыкновенные производные любого порядка, интегралы бывают как обыкновенными, так и кратными, в качестве границ интегрирования допускается бесконечность и т. д. Как всегда, программа будет стремиться представить все вычисленные значения в замкнутой (точной) форме.

В случае если для введенного выражения нельзя получить однозначный результат, программа практически на естественном (английском) языке задаст наводящие вопросы. К примеру, при попытке найти интеграл от функции x n Maxima уточнит, не равно ли n+1 нулю (как известно, от этого существенно зависит результат). Впрочем, таких вопросов можно избежать, если заранее с помощью специальных операторов указать область изменения используемых параметров и переменных.

Аналитический аппарат также поддерживает алгебраические операции с полиномами (деление двух полиномов, вычисление наибольшего общего делителя, разложение на множители) и тригонометрическими выражениями. Для практических приложений большую роль играют заложенные в систему инструменты решения уравнений и систем различных типов -- алгебраических, трансцендентных и дифференциальных.

Операции линейной алгебры

В Maxima реализован весьма совершенный механизм векторно-матричных операций, позволяющий проводить сложные алгебраические вычисления. Матрицы вводятся универсальным оператором matrix , затем к ним применимы обычные линейные операции -- сложение, вычитание, умножение на скаляр (для их записи используют естественную математическую нотацию вроде A+B ), а также транспонирование, обращение, вычисление определителей, спектральных характеристик и пр.

Графические возможности

Современная система компьютерной математики универсального типа обязана обладать развитыми возможностями визуализации данных. Имеются они и в Maxima. Графики в системе строятся с помощью двух функций -- PLOT2D (двумерные, рис. 2) и PLOT3D (трехмерные, рис. 3). Несмотря на этот относительно небогатый выбор, названные инструменты позволяют выводить графики разных типов на плоскости и в пространстве с достаточно тонкими настройками -- посредством специальных операторов или аргументов функций задаются количество узлов сетки, на которой строится требуемый график, диапазоны данных, цветовые и другие характеристики. Кроме того, можно воспользоваться интерактивными настройками для быстрого изменения толщины линий, поворота трехмерной поверхности и т. д. Выбор форматов экспорта Maxima весьма узок: рисунки в программе сохраняются, по сути, только в PostScript. В целом же визуальные инструменты системы относительно скромны, хотя и дают возможность получить качественные графики некоторых типов.

Средства программирования

Как и всякая система компьютерной математики, Maxima позволяет создавать сложные программы и использовать их в задачах, решение которых с помощью командной строки может оказаться сложным и неэффективным.

В самом простом случае пользовательская функция определяется прямо в командной строке

MyFunc(x,y):=x^2+y^2;

Затем MyFunc можно применять наряду со встроенными. Конечно же, система поддерживает и более сложные конструкции. В теле функции допускаются операторы ветвления, циклов, ввода/вывода и т. д. Язык программирования в Maxima имеет некоторые особенности, важнейшей из которых является то, что число аргументов функции не обязано быть фиксированным. Другая состоит в чрезвычайно гибких средствах для работы с массивами, которые редко встретишь не только в традиционных языках, но и специализированных системах, в том числе СКМ. Вот несколько примеров, заимствованных из одного руководства (двоеточие в Maxima означает присваивание):

a:4*u;
a:%PI;
a[x]:mystery;

Все операторы корректны и задают в совокупности массив, индексами которого служат числа 4 , 22/7 и строка "x" , а значениями элементов -- выражение 4*u , число π (в Maxima оно записывается как %PI) и строка символов "mystery" . Таким образом, как элементом массива, так и его индексом может выступать практически любое выражение. Оригинальные свойства Maxima вовсе не ограничиваются этими особенностями (например, поддерживаются даже массивы функций), но мы не будем останавливаться на деталях.

Вообще, Maxima написана на языке Lisp и непосредственно поддерживает многие его команды. Можно сказать, что Lisp является ядром системы, и к нему допускается обращаться при "низкоуровневом" программировании. Впрочем, в большинстве случаев этого не требуется. Maxima предоставляет достаточное количество уже готовых средств, использовать которые значительно проще, чем Lisp-операторы.

При необходимости программы сохраняются во внешних файлах. Команды записываются в том же виде, в каком они вводятся в систему, имеются лишь некоторые особенности для оформления функций.

Забота о пользователе

Кроме документации, доступной на Web-узле продукта, в комплект поставки входят введение в Maxima и учебник по системе (оба в формате HTML) -- детальное описание, достаточное для углубленного ознакомления со всеми ее возможностями. Однако во время сеанса работы с системой нередко необходимо получить оперативную справку. Для этого Maxima предоставляет функцию DESCRIBE() , которая выводит подробные сведения об интересующем пользователя операторе (который передается ей в качестве аргумента). Не беда, если вы не помните его полный синтаксис, введите несколько первых букв названия -- и Maxima выдаст все доступные имена, начинающиеся с данной комбинации символов. Если же этих сведений окажется недостаточно, то можно воспользоваться функцией EXAMPLE() , которая предложит характерные примеры. К функциям этого же ряда принадлежит DEMO() , выполняющая программы из демонстрационных файлов, поставляемых с системой. Хотелось бы отметить такую особенность системы, как возможность представления результатов вычислений в формате TeX с помощью функции, которая так и называется -- TEX() .

Выводы

Надеемся, что после этого небольшого материала у читателей все же сложилось представление о Maxima как о действительно профессиональной системе, предназначенной для решения сложных численных и аналитических задач, а также графического представления данных. Особенно, как было отмечено вначале, программа сильна в аналитических расчетах и арифметике высокой точности. Конечно, Maxima далеко не совершенна, и по многим аспектам не дотягивает до коммерческих продуктов вроде Maple и Mathematica. Однако это не умаляет ее достоинств -- Maxima вполне можно использовать и в учебных целях, и в качестве платформы для вполне серьезных научных разработок.

Maxima - еще одна программа для выполнения математических вычислений, символьных преобразований, а также построения разнообразных графиков. Сложные вычисления оформляются в виде отдельных процедур, которые затем могут быть использованы при решении других задач. Система Maxima распространяется под лицензией GPL и доступна как пользователям ОС Linux, так и пользователям MS Windows.

Для работы с данной системой в ОС Linux следует в окне shell набрать команду maxima или xmaxima для запуска ее графической оболочки. Другим удобным инструментом для работы с системой Maxima является программа texmacs . На панели инструментов этой программы располагается кнопка с изображением монитора, нажатиe на которую открывает меню выбора интерактивной сессии. Выбор пункта maxima позволит начать сеанс работы с этой программой.

При отображении результатов вычислений эта оболочка использует стандартные математические обозначения, в то время как xmaxima или maxima - только символы из таблицы ASCII-кодов.

При старте выводится некоторая информация о системе и "метка" (C1). Каждый ввод и вывод помечаются системой и затем могут быть использованы снова. Символ C (от command) используется для обозначения команд, введенных пользователем, а D (от display) - при выводе результатов вычислений.

Для инициализации процесса вычислений следует ввести команду, затем символ; (точка с запятой) и нажать клавишу Enter. Если не требуется вывод полученной информации на экран, то вместо точки с запятой используется символ $. Обратиться к результату последней команды можно с помощью символа %. Для повтора ранее введенной команды, скажем (C2), достаточно ввести два апострофа и затем метку требуемой команды, например, ""C2.

Система Maxima не обращает внимание на регистр введенных символов в именах встроенных констант и фунций. Запись sin(x) эквивалентна записи SIN(x), но при выводе результатов в текстовом режиме используются заглавные буквы. Регистр букв, однако, важен при использовании переменных, например, Maxima считает x и Xразными переменными.

Для стандартных математических констант используются следующие обозначения: %e (или %E) для основания натуральных логарифмов, %i (%I) для мнимой единицы (квадратный корень из числа -1) и %pi (%PI) для числа
.

Присваивание значения какой-либо переменной осуществляется с помощью знака : (двоеточие), а символ = (равно) используется при задании уравнений или подстановок.

(C1) x:2; (D1) 2 (C2) y:3; (D2) 3 (C3) x + y; (D3) 5

Функция kill аннулирует присвоенные ранее значения переменных. Параметр all этой функции приводит к удалению значения всех переменных, включая метки Ci и Di.

(C8) kill(x); (D8) DONE (C9) x + y; (D9) x + 3 (C10) kill(all); (D0) DONE (C1) x + y; (D1) y + x

Для завершения работы с системой применяется функция quit(); , а прерывание процесса вычислений осуществляется путем нажатия комбинации клавиш Ctrl+c (после чего следует ввести:q для возврата в обычный режим работы).

Справка о той или иной функции выводится по команде describe (имя функции). При работе в графической оболочке XMaxima, можно воспользоваться пунктом меню help. Процедура example (имя функции) демонстрирует примеры использования функции.

Все команды вводятся в поле ВВОД, разделителем команд является символ; (точка с запятой). После ввода команды необходимо нажать клавишу Enter 2В wxMaxima нужно нажать Shift+Enter . для её обработки и вывода результата. В ранних версиях Maxima и некоторых её оболочках (например, xMaxima ) наличие точки с запятой после каждой команды строго обязательно. Завершение ввода символом $ (вместо точки с запятой) позволяет вычислить результат введённой команды, но не выводить его на экран. В случае, когда выражение надо отобразить, а не вычислить, перед ним необходимо поставить знак " (одинарная кавычка). Но этот метод не работает, когда выражение имеет явное значение, например, выражение заменяется на значение равное нулю.

Две одинарных кавычки последовательно, применённые к выражению во входной строке, приводят к замещению входной строки результатом вычисления вводимого выражения.

Пример:

(%i3) sqrt(aa)+bb;

(%i4) "(sqrt(aa)+bb);

2.5.1 Обозначение команд и результатов вычислений

После ввода, каждой команде присваивается порядковый номер. В рассмотренном примере, введённые команды имеют номера 1–5 и обозначаются соответственно (%i1), (%i2) и т.д.

Результат вычисления также имеет порядковый номер, например и т.д., где i - сокращение от англ. input (ввод), а о - англ. output (вывод). Этот механизм позволяет избежать в последующих вычислениях повторения полной записи уже выполненных команд, например (%i1)+(%i2) будет означать добавление к выражению первой команды - выражения второй и последующего вычисления результата. Также можно использовать и номера результатов вычислений, например . Для последней выполненной команды в Maxima есть специальное обозначение - .

Пример:

Вычислить значение производной функции :

(%i1) diff(x^2*exp(-x),x);

(%i2) f(x):=""%;

Двойная кавычка перед символом предыдущей операции позволяет заместить этот символ значением, т.е. текстовой строкой, полученной в результате дифференцирования.

Другой пример (с очевидным содержанием):

2.6 Числа, операторы и константы

2.6.1 Ввод числовой информации

Правила ввода чисел в Maxima точно такие, как и для многих других подобных программ. Целая и дробная часть десятичных дробей разделяются символом точка. Перед отрицательными числами ставится знак минус. Числитель и знаменатель обыкновенных дробей разделяется при помощи символа / (прямой слэш). Обратите внимание, что если в результате выполнения операции получается некоторое символьное выражение, а необходимо получить конкретное числовое значение в виде десятичной дроби, то решить эту задачу позволит применение флага . В частности он позволяет перейти от обыкновенных дробей к десятичным. Преобразование к форме с плавающей точкой осуществляет также функция .

(%i2) 3/7+5/3, float;

(%i3) 3/7+5/3, numer;

(%i4) float(5/7);

2.6.2 Арифметические операции

Обозначение арифметических операций в Maxima ничем не отличается от классического представления: + , - , * , /. Возведение в степень можно обозначать несколькими способами: ^, ^^, **. Извлечение корня степени n записываем, как степень . Операция нахождение факториала обозначается восклицательным знаком, например 5!. Для увеличения приоритета операции, как и в математике, используются круглые скобки: (). Список основных арифметических и логических операторов приведён в табл. 2.1 и табл. 2.2 ниже.

Таблица 2.2. Логические операторы

<	оператор сравнения меньше
>	оператор сравнения больше
<=	оператор сравнения меньше или равно
>=	оператор сравнения больше или равно
#	оператор сравнения не равно
=	оператор сравнения равно
and	логический оператор и
or	логический оператор или
not	логический оператор не

В системе Maxima имеется множество встроенных функций. Для каждой встроенной функции можно получить описание в документации, содержащейся в справочной системе. Вызвать справку можно с помощью функциональной клавиши F1. Также в Maxima есть специальная функция, которая выдает информацию из документации по конкретным словам. Сокращенная версия вызова этой функции: ?? name (Рис.12). Здесь?? - это имя оператора, и аргумент нужно отделять от него пробелом. Оператор?? выдает список тех разделов помощи и имен функций, которые содержат заданный текст, после чего предлагают ввести номер того раздела или описания той функции, которые требуется посмотреть:

Рис.12. Вызов справки по интересующей команде системы Maxima

Заметим, что в системе Maxima нет четкого разграничения между операторами и функциями. Более того,каждый оператор - это на самом деле функция.

Все функции и операторы Maxima работают не только с действительными, но и комплексными числами. Сами комплексные числа записываются в алгебраической форме, с мнимой единицей, обозначенной через %i; то есть в виде a+b*%i, где а и b - соответственно действительная и мнимая части числа.

Рассмотримсинтаксис базовых функций системы Maxima.

1. Арифметические операторы: + , -, *, /, -->. Пример:

3. Логические операторы: and, or, not. Пример:

4. Функция нахождения факториала числа: !

Факториал задан в наиболее общем виде и представляет собой, по сути, гамма-функцию (точнее, x! = gamma(x+1)), то есть определен на множестве всех комплексных чисел, кроме отрицательных целых. Факториал от натурального числа (и нуля) автоматически упрощается до натурального же числа.

5. Функция нахождения полуфакториала чила: !! (произведение всех четных (для четного операнда) или нечетных чисел, меньших либо равных данному).

6. Функция отрицания синтаксического равенства: # Запись a#b эквивалентна not a=b.Пример:

7. Функция нахождения модуля числа х: abs(x) Модуль определен для всех комплексных чисел. Пример:

8. Функция, возвращающая знак числа х: signum(x)

9. Функции, возвращающие наибольшее и наименьшее значения из заданных действительных чисел: max(x1,...,xn) и min(x1,...,xn).

10. Некоторые встроенные математические функции:

sqrt (x)	Квадратный корень из x
acos (x)	Арккосинус аргумента х
acosh (x)	Гиперболический арккосинус аргумента х
acot (x)	Арккотангенс аргумента х
acoth (x)	Гиперболический арккотангенс аргумента х
acsc (x)	Арккосеканс аргумента х
acsch (x)	Гиперболический арккосеканс аргумента х
asec (x)	Арксеканс аргумента х
asech (x)	Гиперболический арксеканс аргумента х
asin (x)	Арксинус аргумента х
asinh (x)	Гиперболический арксинус аргумента х
atan (x)	Арктангенс аргумента х
atanh (x)	Гиперболический арктангенс аргумента х
cosh (x)	Гиперболический косинус аргумента х
coth (x)	Гиперболический котангенс аргумента х
csc (x)	Косеканс аргумента х
csch (x)	Гиперболический косеканс аргумента х
sec (x)	Секанс аргумента х
sech (x)	Гиперболический секанс аргумента х
sin (x)	Синус аргумента х
sinh (x)	Гиперболический синус аргумента х
tan (x)	Тангенс аргумента х
tanh (x)	Гиперболический тангенс аргумента х
log (x)	Натуральный логарифм х
exp (x)	Экспонента х

11. Функции для работы с матрицами:

determinant – нахождение определителя матрицы:

eigenvalues – нахождение собственных значений матрицы:

invert – получение обратной матрицы:

minor – определяет минор матрицы. Первый аргумент – матрица, второй и

третий – индексы строки и столбца соответственно:

rank – ранг матрицы:

submatrix – возвращает матрицу, полученную из исходной удалением

соответствующих строк и (или) столбцов. В качестве параметров следуют

номера удаляемых строк, исходная матрица, номера удаляемых столбцов.

transpose – транспонирование матрицы:

В языке системы Maxima заложены основные исполнимые операторы, которые есть в любом языке программирования. Рассмотрим их.

Операторы присваивания значений (именования выражений).

1. Оператор «:» (оператор задания значения переменной).

2.Оператор «:=» (оператор задания функции пользователя).

3.Расширенные варианты операторов присваивания и задания функции, обозначаемые соответственно через:: и::=.

Использование оператора задания функции пользователя значительно облегчает работу с ней, поскольку к ней можно обращаться по имени и легко и удобно вычислять значения функции в заданных точках.

Пример: найдем значение функции f (x,y )=cosx + siny в точке

Оператор цикла. Оператор цикла может задаваться несколькими способами. Способ задания зависит от того, известно ли заранее сколько раз необходимо выполнить тело цикла.

Пример: задание цикла для вывода значений переменной а в диапазоне от -3 до 10 с шагом 5:

Следующей важной возможностью системы Maxima являетсяработа со списками и массивами.

Для формирования списков используется команда makelist. Например, с помощью команды

мы сформировали список с именем x, состоящий из десяти элементов, значения которых находятся по формуле .

Для формирования массивов используется команда array. Например с помощью команды,

мы сформировали двумерный массив A, состоящий из 10 строк и 5 столбцов. Для заполнения массива элементами воспользуемся циклом с параметром. Например,

Для вывода элементов массива на экран можно воспользоваться командой:

Массив можно формировать и без предварительного объявления. В следующем примере мы сформировали одномерный массив x, состоящий из 5 элементов, значения которых вычисляются по формуле x(i )=sini

Неудобство работы с массивами заключается в том, что вывод значений элементов массива осуществляется в столбец. Гораздо удобнее, если значения массива (двумерного) выводятся в виде матрицы. Для этих целей можно воспользоваться командой genmatrix. Например, для формирования двумерного массива (матрицы) следует задать команду в следующем виде:

Выведем полученный массив:

6. Простейшие преобразования выражений.

По умолчанию в системе Maxima является активной функция автоупрощения, т.е. система старается упростить вводимое выражение сама без какой-либо команды.

Пример. Пусть требуется найти значение следующего числового выражения:

Зададим выражение по правилам языка системы Maxima.

Как видим, система в ответ вывела значение выражения, хотя мы не задали никакой команды.

Как же заставить систему вывести не результат, а само выражение? Для этого функцию упрощения надо отключить с помощью команды simp: false$. Тогда получим:

Для того чтобы активировать функцию упрощения, надо задать команду simp:true$. Функция автоупрощения может работать как с числовыми, так и с некоторыми не числовыми выражениями. Например,

При вводе мы можем обращаться к любой из предыдущих ячеек по ее имени, подставляя его в любые выражения. Кроме того, последняя ячейка вывода обозначается через %, а последняя ячейка ввода - через _. Это позволяет обращаться к последнему результату, не отвлекаясь на то, каков его номер. Но такими обращениями к ячейкам злоупотреблять не надо, поскольку при переоценивании всего документа или его отдельных ячеек ввода может произойти разногласие между номерами ячеек.

Пример. Найти значение выражения и увеличить полученный результат в 5 раз.

Желательно вместо имен ячеек использовать переменные и присваивать их имена любым выражениям. В этом случае в виде значения переменной может выступать любое математическое выражение.

Значения имен переменных сохраняются на протяжении всей работы с документом. Напомним, что если необходимо снять определение с переменной, то это можно сделать с помощью функции kill(name), где name - имя уничтожаемого выражения; причем это может быть как имя, назначенное вами, так и любая ячейка ввода или вывода. Точно так же можно очистить всю память и освободить все имена, введя команду kill(all) (или выбрать меню Махта->Очиститъ память (Clear Memory)). В этом случае очистятся в том числе и все ячейки ввода-вывода, и их нумерация опять начнется с единицы.

Функция автоупрощения далеко не всегда способна упростить выражение. В дополнение к ней имеется целый ряд команд, которые предназначены для работы с выражениями: рациональными и иррациональными. Рассмотрим некоторые из них.

rat (выражение) - преобразовывает рациональное выражение к канонической форме: раскрывает все скобки, затем приводит все к общему знаменателю, суммирует и сокращает; приводит все числа в конечной десятичной записи к рациональным. Каноническая форма автоматически «отменяется» в случае любых преобразований, не являющихся рациональными

ratsimp (выражение) - упрощает выражение за счет рациональных преобразований. Работает в том числе и «вглубь», то есть иррациональные части выражения не рассматриваются как атомарные, а упрощаются, в том числе, и все рациональные элементы внутри них

fullratsimp(выражение) - функция упрощения рационального выражения методом последовательного применения к переданному выражению функции ratsimp(). За счет этого функция работает несколько медленнее, чем ratsimp(), зато дает более надежный результат.

expand (выражение) - раскрывает скобки в выражении на всех уровнях вложенности. В отличии от функции ratexpand(), не приводит дроби-слагаемые к общему знаменателю.

radcan(выражение) - функция упрощения логарифмических, экспоненциальных функций и степенных с нецелыми рациональными показателями, то есть корней (радикалов).

Часто при попытке упрощения выражения в Maxima может происходить на самом деле только его усложнение. Увеличение результата может происходить из-за того, что неизвестно, какие значения могут принимать переменные, входящие в выражение. Чтобы этого избежать, следует накладывать ограничения на значения, которые может принимать переменная. Делается это с помощью функции assume(условие). Поэтому в некоторых случаях наилучшего результата можно добиться, комбинируя radcan() с ratsimp() или fullratsimp().

Оператор цикла

Оператор цикла может задаваться несколькими способами. Способ задания зависит от того, известно ли заранее сколько раз необходимо выполнить тело цикла.

Пример: задание цикла для вывода значений переменной а в диапазоне от -3 до 10 с шагом 5:

Пример: цикл для нахождения суммы всех натуральных чисел до числа 50 включительно:

Следующей важной возможностью системы Maxima является работа со списками и массивами .

Для формирования списков используется команда makelist. Например, с помощью команды

мы сформировали список с именем x, состоящий из десяти элементов, значе-

Для формирования массивов используется команда array. Например с помощью команды,

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

Для вывода элементов массива на экран можно воспользоваться командой:

Выведем полученный массив:

1.7. Управление процессом вычислений в Maxima

Система компьютерной математики Maxima относится к системам символьной математики. Поэтому (по умолчанию) система выдает результат в символьном виде. То есть, если не задавать специальную команду, система

Глава 1 Основы работы в системе компьютерной математики Maxima

никогда не представит полученные в ходе вычислений результаты в виде приближенного ве щественного числа. Например, если мы введем в ячейку ввода команду2 , то получим:

Если же возникает необходимость представить полученный в ходе расчетов результат в виде вещественного числа, то в этом случае требуется дать специальную команду системе. Например, можно поступить так: если требуется получить приближенное значение 2 , то выбираем пункт менюЧисленные расчеты→To float (в число с одинарной точностью) (илиTo BigFloat

(в число с двойной точностью)). Результат будет выглядеть так:

Знак «%» в Maxima используется для обращения к результату, полученному в последней сессии работы. Это бывает удобно, если нет необходимости вводить переменные пользователя и в дальнейшем использовать полученные значения.

Для управления процессом вычислений предусмотрена возможность так называемой «блокировки вычислений» . Выполняется блокировка с помощью одинарного знака апострофа. Ее суть:

– если перед именем функции или переменной поставить знак апострофа, то блокируется вычисление самой функции (но не ее аргументов) или переменной;

– если поставить апостроф перед выражением, заключенным в скобки, то невычисленными останется все это выражение целиком, т. е. и все входящие в него функции, и все аргументы этих функций.

Например, зададим функцию f x и сравним результаты, полученные при попытке вычисления значения функции в точкеx = 0 .

Как видим, знак апострофа заблокировал попытку вычисления значения функции в первом случае.

Другой пример:

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

В противовес блокировке вычислений с помощью двух знаков апострофа наоборот можно заставить систему выполнять вычисления - «принудительное вычисление» . Например,

ак видно, система отказалась вычислять интеграл, хотя мы не давали команду заблокировать вычисления. Если же мы поставим двойной апостроф перед командой, то получим следующий результат:

Обратим внимание на то, что в системе Maxima по умолчанию все углы измеряются в радианах. Поэтому если требуется работать с углами в градусах, для этого потребуется вспомнить формулу перевода из радиан в градусы.

В терминологии Maxima невычисленная форма выражения называется «noun form », вычисленная - «verb form ».

Следующим важным моментом при работе в системах компьютерной математики является умение выполнять подстановку значений переменных или частей выражений в функции, выражения. Рассмотрим некоторые возможности системы, предусмотренные для этих целей.

Например, требуется в выражение cos x 4sin x − x вместо переменнойх подставить конкретное значение, например, .

Глава 1 Основы работы в системе компьютерной математики Maxima

Таким образом, команда subst позволяет выполнять подстановку в выражение значений каких-либо переменных. На самом деле, команд подстановки значений в выражение или функцию в Maxima несколько.

1.8. Простейшие преобразования выражений

Пример. Пусть требуется найти значение следующего числового выра-

1 1− 4

жения: 2 1 4 4 5 7 .

Зададим выражение по правилам языка системы Maxima.

Как видим, система в ответ вывела значение выражения, хотя мы не задали никакой команды.

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

ченный результат в 5 раз.

Значения имен переменных сохраняются на протяжении всей работы с документом. Напомним, что если необходимо снять определение с переменной, то это можно сделать с помощью функции kill(name), где name - имя уничтожаемого выражения; причем это может быть как имя, назначенное вами, так и любая ячейка ввода или вывода. Точно так же можно очистить всю память и освободить все имена, введя команду kill(all) (или выбрать меню Maxima->Очистить память (Clear Memory) ). В этом случае очистятся в том числе и все ячейки ввода-вывода, и их нумерация опять начнется с единицы.

rat(выражение) - преобразовывает рациональное выражение к канонической форме: раскрывает все скобки, затем приводит все к общему знаменателю, суммирует и сокращает; приводит все числа в конечной десятичной записи к рациональным. Каноническая форма автоматически «отменяется» в случае любых преобразований, не являющихся рациональными

ratsimp(выражение) - упрощает выражение за счет рациональных преобразований. Работает в том числе и «вглубь», то есть иррациональные

Глава 1 Основы работы в системе компьютерной математики Maxima

части выражения не рассматриваются как атомарные, а упрощаются, в том числе, и все рациональные элементы внутри них

expand(выражение) - раскрывает скобки в выражении на всех уровнях вложенности. В отличии от функции ratexpand(), не приводит дроби-сла- гаемые к общему знаменателю.

			− a 2 b 2
		aba1 / 4
Пример. Упростить выражение	b a b a 2 1 / 4		a 2− b 2.

Если применить к нашему выражению команду упростить рационально, то получим:

Применим функцию assume(условие) и наложим с ее помощью на некоторые переменные, входящие в выражение, ограничения на их значения:

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

Как видим, получили компактный результат.

1.9. Решение алгебраических уравнений и их систем

В система Maxima для решения линейных и нелинейных уравнений используется встроенная функция solve, имеющая следующий синтаксис:

solve (expr, x) – решает алгебраическое уравнение expr относительно переменнойx

solve (expr) – решает алгебраическое уравнение expr относительно неизвестной переменной, входящей в уравнение.

Например, решим линейное уравнение 5 x + 8 = 0 . Для этого воспользуемся кнопкойРешить на панели инструментов, при нажатии на которую появляется диалоговое окноРешить (Рис.13). Вводим исходное уравнение и нажимаемOK .

Рис. 13. Диалоговое окно для решения уравнений

В результате в рабочем документе сформируется команда для решения уравнения и выведется найденное решение:

Глава 1 Основы работы в системе компьютерной математики Maxima

Команду для решения уравнений можно задавать таким образом, чтобы можно было легко выполнять проверку найденных решений. Для этого целесообразно воспользоваться командой подстановки ev.

Например, решим алгебраическое уравнение x 3 + 1 = 0 и выполним проверку найденных решений.

В результате получили три корня. Под именем resh у нас хранится список значений - корней уравнения. Элементы списка заключены в квадратные скобки и отделены один от другого запятой. К каждому такому элементу списка можно обратиться по его номеру. Воспользуемся этим при проверке решений: подставим поочередно каждый из корней в исходное уравнение.

С помощью команды allroots (expr) можно найти все приближенные решения алгебраического уравнения. Данную команду можно использовать в том случае, если команда solve не смогла найти решение уравнения или решение получается слишком громоздким, как, например, для следующего уравнения: (1 + 2 x )3 = 13.5(1 + x 5 ) .

Т.Н. Губина, Е.В. Андропова

С помощью команды solve можно находить решение систем линейных алгебраических уравнений. Например, система линейных уравнений

ì x +2 y +3 z +4 k +5 m =13
	2 x+ y+ 2 z+ 3 k+ 4 m= 10

	2 x + 2 y + z + 2 k + 3 m = 11 может быть решена следующим образом:

	2 x+ 2 y+ 2 z+ k+ 2 m= 6

ï 2 x +2 y +2 z +2 k +m =3

1. Сохраним каждое из уравнений системы под именами eq1, eq2, eq3, eq4, eq5.

2. Находим решение системы.

3. Выполним проверку найденного решения:

Таким образом, при подстановке полученного решения в каждое из уравнений системы получены верные равенства.

Функция solve системы Maxima может решать и системы линейных уравнений в случае, если решение не единственно. Тогда она прибегает к обозначениям вида %r_number чтобы показать, что неизвестная переменная является свободной и может принимать любые значения.

Для решения систем нелинейных уравнений можно воспользоваться командой algsys. Например, найдем решение системы уравнений

2.5.1 Обозначение команд и результатов вычислений